Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
1) лежит на средней линии трапеции,
2) равен полуразности оснований трапеции.
Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,
F — середина AC, K — середина BD,
MN — средняя линия трапеции
Доказать: FK∈MN,
![\[ FK = \frac{{AD - BC}}{2}. \]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5de3f70e52bf5755392971d24574e6f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Замечательное свойство трапеции
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.
Существует несколько способов доказательства этого свойства. Надо доказать, что четыре данные точки лежат на одной прямой. Прямую можно провести через любые две точки. Выбирают две любые точки из четырёх, проводят через них прямую и доказывают, что две другие точки также лежат на этой прямой.
Сформулируем это свойство иначе:
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.
Дано:
ABCD- трапеция, AD||BC,
AB∩CD=F, AC∩BD=O,
FO∩AD=K, FO∩BC=P
Доказать: K- середина AD,
P- середина BC
Доказательство:
Утверждение 1
Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, делится этой точкой пополам.
Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,
AC∩BD=O, F∈AB, K∈CD,
FK||AD, O∈FK
Доказать: O — середина FK.
Доказательство:
Утверждение
Медиана, проведённая к стороне треугольника, делит пополам любой отрезок, параллельный этой стороне, с концами на двух других сторонах треугольника.
Дано: ΔABC,
BM — медиана,
D∈AB, E∈BC, DE||AC,
DE∩BM=F
Доказать: DF=FE
Доказательство:
Выясним, в каком отношении точка пересечения биссектрис треугольника делит каждую биссектрису.
Утверждение
Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
Дано:
ΔABC,
AK, BF, CM — биссектрисы ΔABC,
AK∩BF=O
Доказать:
![\[ \frac{{BO}}{{OF}} = \frac{{AB + BC}}{{AC}}, \]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c76cab653cfdf47394ab383a3aa8f2e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Задача
Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение:
Задача
В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла A пересекается с биссектрисой угла C в точке F, а также пересекает сторону CD в точке K. Известно, что прямые AB и CF параллельны. Найти CF, если FK=4√3.
Дано: ABCD — трапеция, AD||BC, AB=CD,
AF — биссектриса ∠BAD, CF — биссектриса∠BCD,
CF||AB, AF∩CD=K, FK=4√3
Найти: CF