Задача
На стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.
Решение:
Теорема Птолемея
Теорема (Птолемея)
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон.
Дано:
4-угольник ABCD вписан в окр. (O; R)
Доказать:
AC·BD=AB·CD+AD·BC
Доказательство:
Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны
Утверждение
Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.
Дано:
окружность (O;d),
ABCD — вписанный четырёхугольник,
AC⊥BD
Доказать: AD² +BC² = d²
Доказательство:
Если диагонали четырехугольника перпендикулярны
Утверждение 1
Если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон равны.
Дано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,
AC⊥BD
Доказать:
AB²+CD²=AD²+BC²
Доказательство:
Если две медианы треугольника равны
Утверждение
Если две медианы треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Дано: ΔABC,
AF, BK — медианы,
AF=BK
Доказать: ΔABC — равнобедренный
Если две биссектрисы треугольника равны
Теорема (Штейнера-Лемуса)
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Дано:
ΔABC,
AF, BK — биссектрисы ΔABC,
AF=BK
Доказать: ΔABC — равнобедренный
Доказательство:
Длина биссектрисы треугольника
Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.
I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.
Утверждение 1
Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.
Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.