Задача
В равнобедренную трапецию, периметр которой 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность.
Найти расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Дано: ABCD — трапеция,
AD || BC, AB=CD,
PABCD=220, SABCD=2420,
AC∩BC=F, FK⊥BC
Найти: FK
Задача
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K.
Найти площадь параллелограмма, если BC=19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AK, BK — биссектрисы углов BAD и ABC,
AK∩BK=K, KF⊥AB,
KF=10, BC=19
Найти: SABCD
Задача
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8.
Найти стороны треугольника ABC.
Дано: ΔABC,
AD — медиана, BE — биссектриса,
AD=BE=8, AD⊥BE
Найти: AB, BC, AC
Задача
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB.Найти площадь трапеции.
Дано: ABCD — трапеция, AD || BC, BC=2,
AB=16, CD=34, DF — биссектриса ∠ADC, F — середина AB
Найти: SABCD
Решение:
Задача
На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠BC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=49, MD=42, H — точка пересечения высот треугольника ABC.
Найти AH.
Задача
В треугольнике ABC известны длины сторон AB=28, AC=56, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найти CD.
Задача
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=12.
Решение:
Пусть биссектриса угла A пересекает высоту BD треугольника ABC в точке F.
По условию, BF:FD=5:4.
Рассмотрим треугольник ABD, ∠ADB=90°.