Треугольники

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Jul.11,2015

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyj-treugolnik Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

$AK \cap BF = O,$

$AK \cap CD = O.$

Симметрия в равностороннем треугольнике

Jul.10,2015

Есть ли осевая или центральная симметрия в равностороннем треугольнике? Сколько осей симметрии имеет равносторонний треугольник? Есть ли у равностороннего треугольника центр симметрии?

Утверждение

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.

Осями симметрии равностороннего треугольника являются прямые, содержащие серединные перпендикуляры к его сторонам.

Медиана равностороннего треугольника

Jul.9,2015

Какими свойствами обладает медиана равностороннего треугольника? Как выразить длину медианы через сторону треугольника? Через радиус вписанной и описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство медианы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой стороне, является также его биссектрисой и высотой.

Доказательство:

mediana-ravnostoronnego-treugolnika Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Проведём медиану BF.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Высота равностороннего треугольника

Jul.8,2015

Какими свойствами обладает высота равностороннего треугольника? Как найти высоту равностороннего треугольника через его сторону, радиусы вписанной или описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство высоты равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике высота, проведённая к любой стороне, является также его медианой и биссектрисой.

vysota-ravnostoronnego-treugolnika Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Так как AB=BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.

Биссектриса равностороннего треугольника

Jul.7,2015

Какими свойствами обладает биссектриса равностороннего треугольника? Как, зная сторону правильного треугольника, найти его биссектрису? Чему равна длина биссектрисы через радиус вписанной и описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство биссектрисы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к любой стороне, является также его медианой и высотой.

Доказательство:

bissektrisa-ravnostoronnego-treugolnika Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.