Как найти площадь трапеции через ее основания и диагонали?
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поскольку основания известны, задача может быть сведена к нахождению высоты трапеции.
На самом деле, зная основания и диагонали, можно найти площадь трапеции и без высоты.
Дано: ABCD — трапеция,
AD || BC, AD=a, BC=b,
AC=d1, BD=d2
В прошлый раз мы рассмотрели свойства параллелограмма, в котором точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит его противоположной стороне. Перейдем к примерам использования этих свойств.
Задача 1.
Биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в точке, принадлежащей противоположной стороне. Найти периметр параллелограмма, если его большая сторона равна 40 см.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AF — биссектриса ∠BAD,
Что можно сказать о случае, когда точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне?
Утверждение 1
Если точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма принадлежит другой стороне, то одна сторона параллелограмма вдвое больше другой.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AF — биссектриса ∠BAD,
DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC.
Доказать: BC=2AB.
Рассмотрим на конкретных примерах, как найти площадь четырёхугольника, вписанного в окружность.
1) В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 3 см, 5 см, 8 см и 10 см. Найти площадь четырёхугольника.
Решение:
I способ.
По формуле Брахмагупты:
![\[S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} ,\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-74e21b6f6c1ad61b633ce02fe1387229_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
где p — полупериметр четырёхугольника, то есть
Как найти площадь вписанного четырехугольника?
I способ.
Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:
где p — полупериметр четырёхугольника, то есть
![\[p = \frac{{a + b + c + d}}{2}.\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29abaf588349a60fd5635b89f4e70e31_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).
Как найти стороны параллелограмма, если даны высоты параллелограмма и угол между ними? Как найти периметр и площадь параллелограмма по его высотам и углу между высотами?
Задача.
Высоты параллелограмма равны m и n, а угол между ними — . Найти стороны параллелограмма, его периметр и площадь.
I. Так как угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма,
![\[\angle A = \angle C = \angle MBN = \alpha .\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8980c69fa2d0b593fba49f726a007f1f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM.
Как найти площадь параллелограмма через стороны и угол между высотами?
Задача.
Стороны параллелограмма равны a и b, угол между высотами — α. Найти площадь параллелограмма.
Решение:
Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длин сторон на синус угла между ними:
![\[{S_{ABCD}} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fcde72f7f4a3ff568fc4da2423d572ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")