Найти площадь четырёхугольника, вписанного в окружность |

Рассмотрим на конкретных примерах, как найти площадь четырёхугольника, вписанного в окружность.

1) В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 3 см, 5 см, 8 см и 10 см. Найти площадь четырёхугольника.

Решение:

najti-ploshchad-chetyrekhugolnika-vpisannogo-v-okruzhnost I способ.

По формуле Брахмагупты:

$S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} ,$

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

$p = \frac{{a + b + c + d}}{2},$

$p = \frac{{3 + 5 + 8 + 10}}{2} = 13cm,$

$S = \sqrt {(13 - 3)(13 - 5)(13 - 8)(13 - 10)} =$

$= \sqrt {10 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt {400 \cdot 3} = 20\sqrt 3 c{m^2}$

najti-ploshchad-vpisannogo-chetyrekhugolnika-po-storonam II способ. (подробно разобран ранее).

Проведём диагональ AC.

По теореме косинусов из треугольников ABC н ADC найдём AC², приравняем правые части и получим косинус угла ABC:

$\cos \angle ABC = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}}}{{2(AB \cdot BC + AD \cdot DC)}}.$

$\cos \angle ABC = \frac{{{8^2} + {{10}^2} - {5^2} - {3^2}}}{{2(8\cdot10 + 5\cdot3)}} = \frac{{13}}{{19}}.$

Затем найдём синус угла ABC

$\sin \angle ABC = \sqrt {1 - {{(\cos \angle ABC)}^2}}$

$\sin \angle ABC = \sqrt {1 - {{(\frac{{13}}{{19}})}^2}} = \sqrt {\frac{{192}}{{361}}} = \frac{{8\sqrt 3 }}{{19}}.$

По формуле

$S = \frac{1}{2}ab\sin \alpha$

найдём площади треугольников ABC и ADC:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{{8\sqrt 3 }}{{19}} = \frac{{320\sqrt 3 }}{{19}}.$

${S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin \angle ADC$

${S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{{8\sqrt 3 }}{{19}} = \frac{{60\sqrt 3 }}{{19}}.$

${S_{ABCD}} = {S_{\Delta ABC}} + {S_{\Delta ADC}}$

${S_{ABCD}} = \frac{{320\sqrt 3 }}{{19}} + \frac{{60\sqrt 3 }}{{19}} = \frac{{320\sqrt 3 }}{{19}} = 20\sqrt 3 c{m^2}.$

2) В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 7 см, 24 см, 20 см, 15 см. Найти площадь четырёхугольника.

Решение:

ploshchad-vpisannogo-chetyrekhugolnika-po-storonam

$\cos \angle ABC = \frac{{{{20}^2} + {{15}^2} - {7^2} - {{24}^2}}}{{2(20\cdot15 + 7\cdot24)}} = 0,$

следовательно, ∠ABC=90º, треугольники ABC и ADC — прямоугольные.

(Или: так как

${20^2} + {15^2} = {24^2} + {7^2},$

то AB и BC, а также AD и CD — катеты прямоугольных треугольников с общей гипотенузой AC).

${S_{ABCD}} = {S_{\Delta ABC}} + {S_{\Delta ADC}} =$

$= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2}(AB \cdot BC + AD \cdot CD)$

${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}(20 \cdot 15 + 24 \cdot 7) = 234c{m^2}.$

Таким образом, для частного случая можно сделать вывод: если для вписанного четырёхугольника, стороны которого последовательно равны a, b, c и d, выполняется условие

${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2},$

то площадь четырёхугольника можно найти по формуле

$S = \frac{1}{2}(ab + cd).$

Найти площадь четырёхугольника, вписанного в окружность

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Навигация по сайту

Рубрики