Найдём площадь правильного многоугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей и через его сторону.
Любой правильный многоугольник вписан в окружность и описан около окружности. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают и называются центром правильного многоугольника.
Соединив центр правильного n-угольника
со всеми его вершинами, получим n равнобедренных треугольников.
Основание каждого такого треугольника равно стороне многоугольника, боковые стороны равны радиусу описанной около многоугольника окружности угол при вершине — центральному углу правильного многоугольника
Так как площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними,
Отсюда
Поскольку многоугольник состоит из n таких треугольников, формула площади правильного многоугольника через радиус описанной окружности:
Проведём в треугольнике A1OA2 высоту OF. Её длина равна радиусу вписанной в правильный n-угольник окружности:
По свойству равнобедренного треугольника OF является также его биссектрисой и медианой:
Из прямоугольного треугольника A1OF по определению тангенса
откуда
Так как площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне,
Площадь
равна сумме n таких площадей.
Таким образом, формула площади правильного многоугольника через радиус вписанной окружности:
Из треугольника A1OF
Следовательно,
Поскольку многоугольник состоит из n равных треугольников, формула площади правильного многоугольника через его сторону: