Косинус 36 градусов

Косинус 36 градусов (cos 36º) может быть найден с использованием различных приёмов. Применим один из них.

cos 36

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом ∠B=36º при вершине. и по 72º при основании.

Пусть AC=a.

Биссектриса AF разбивает угол BAC на ∠BAF=∠CAF=36º.

Значит, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AB, треугольник AFC — равнобедренный с основанием FC (по признаку равнобедренного треугольника).

Следовательно, BF=AF=AC=a.

Треугольники ABC и CAF подобны ( по углу между боковыми сторонами). Следовательно,

$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{CF}}$

Пусть CF=x, тогда AB=BC=a+x.

$\frac{{a + x}}{a} = \frac{a}{x}$

Отсюда

$(a + x)x = {a^2}$

${x^2} + ax - {a^2} = 0$

Решим квадратное уравнение относительно переменной x.

a=1, b=a, c=-a².

$D = {b^2} - 4ac = {a^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - {a^2}) = 5{a^2}$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - a \pm a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{a( - 1 \pm \sqrt 5 )}}{2}$

Условию x>0 удовлетворяет только один корень

$x = \frac{{a( - 1 + \sqrt 5 )}}{2} = \frac{{a(\sqrt 5 - 1)}}{2}$

Из треугольника AFC по теореме синусов

$\frac{{CF}}{{\sin {{36}^o}}} = \frac{{AC}}{{\sin {{72}^o}}}$

Так как sin 2α =2∙sinα∙cosα, sin 72º=sin36º∙cos36º,

$\frac{{CF}}{{\sin {{36}^o}}} = \frac{{AC}}{{2\sin {{36}^o}\cos {{36}^o}}}$

$CF = \frac{{AC}}{{2\cos {{36}^o}}}, \Rightarrow \cos {36^o} = \frac{{AC}}{{2CF}}$

$\cos {36^o} = \frac{a}{{2 \cdot \frac{{a(\sqrt 5 - 1)}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 - 1}} = \frac{{1 \cdot (\sqrt 5 + 1)}}{{(\sqrt 5 - 1)(\sqrt 5 + 1)}} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}.$