Котангенс 60 градусов

Котангенс 60 градусов найдем на основании определения котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Утверждение.

$ctg{60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$

Доказательство:

kotangens 60

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 60 градусов:

∠C=90º, ∠A=60º.

$\angle B = {90^o} - \angle A = {30^o}.$

А так как катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы, то

$AC = \frac{1}{2}AB, \Rightarrow AB = 2AC$

Пусть AC=a, тогда AB=2a.

По теореме Пифагора найдем BC:

$B{C^2} + A{C^2} = A{B^2}$

$B{C^2} = A{B^2} - A{C^2}$

$B{C^2} = {(2a)^2} - {a^2} = 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2}$

$BC = \sqrt {3{a^2}} = a\sqrt 3 .$

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника,

$ctg\angle A = \frac{{AC}}{{BC}}.$

Таким образом,

$ctg{60^o} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

Иррациональность в знаменателе оставлять не принято. Умножаем числитель и знаменатель дроби на квадратный корень из трех:

$ctg{60^o} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{1 \cdot \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$

Что и требовалось доказать.

Если перевести 60 градусов в радианы, получим

${60^o} = \frac{\pi }{3}$

Значит, котангенс пи на три равен

$ctg\frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$