Тангенс 60 градусов

Тангенс 60 градусов будем искать, опираясь на определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольника.

Утверждение.

$tg{60^o} = \sqrt 3$

Доказательство:

tangens 60

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, один из острых углов которого равен 60 градусам: ∠C=90º, ∠A=60º.

∠B=90º-∠A=30º.

Поскольку катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы, то

$AC = \frac{1}{2}AB.$

Обозначим AC=a, тогда AB=2a.

По теореме Пифагора,

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}$

${(2a)^2} = {a^2} + B{C^2}$

$B{C^2} = 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2}$

$BC = \sqrt {3{a^2}} = a\sqrt 3 .$

По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике,

$tg\angle A = \frac{{BC}}{{AC}},$

откуда

$tg{60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 .$

Что и требовалось доказать.

Если перевести 60 градусов в радианы:

${60^o} = \frac{\pi }{3},$

то получим, что тангенс пи на три равен

$tg\frac{\pi }{3} = \sqrt 3 .$