Угол между биссектрисами внешних углов |

Задача.

Один из углов треугольника равен альфа. Найдите угол между биссектрисами внешних углов, проведённых из вершин двух других углов.

ugol-mezhdu-bissektrisami-vneshnih-uglov Дано: ΔABC, ∠A=α,

BF и CF — биссектрисы внешних углов при вершинах B и C

Найти: ∠BFC

Решение:

Обозначим ∠ABC=β, ∠ACB=γ.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, ∠KBC=α+γ, ∠BCN=α+β.

Так как BF — биссектриса угла KBC, CF — биссектриса угла BCN, то

$\angle FBC = \frac{{\alpha + \gamma }}{2},\angle FCB = \frac{{\alpha + \beta }}{2}.$

Так как сумма углов треугольника равна 180°,

$\angle FBC + \angle FCB + \angle BFC = 180^o$

α+β+γ=180°.

Отсюда

$\angle BFC = 180^o - (\angle FBC + \angle FCB)$

$\angle BFC = 180^o - (\frac{{\alpha + \gamma }}{2} + \frac{{\alpha + \beta }}{2}) = 180^o - \frac{{\alpha + \beta + \gamma + \alpha }}{2} =$

$= 180^o - \frac{{180^o + \alpha }}{2} = 180^o - \frac{{180^o }}{2} - \frac{\alpha }{2} = 90^o - \frac{\alpha }{2}.$

Ответ: 90° — α/2.

Угол между биссектрисами внешних углов