Дан угол между биссектрисами прямоугольного треугольника. Как найти его острые углы?
Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 45º. Поэтому, если в задаче дан угол между биссектрисами прямоугольного треугольника, отличный от 45º, то это — угол между биссектрисами острого и прямого углов.
Задача
Биссектрисы прямоугольного треугольника пересекаются под углом α. Найти острые углы треугольника.
I. Если угол α — острый.
Дано:
∆ABC, ∠С=90º,
CF и BK — биссектрисы,
CF и BK пересекаются в точке N,
∠СNK=α.
Найти: ∠A, ∠СBA.
Решение:
1) Рассмотрим треугольник KNC.
Так как CF — биссектриса прямого угла ACB, то ∠KCN=90:2=45º.
∠СNK=α (по условию).
Так как сумма углов треугольника равна 180º,
∠СKN=180º-45º- α=135º- α.
2) Рассмотрим треугольник KBC.
∠KCB=90º (по условию).
∠СKN=135º- α (по доказанному).
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
∠BKC=90º-∠СKN=90º-(135º- α)=90º-135º+ α= α-45º.
3) Рассмотрим треугольник ABC.
Так как BK — биссектриса ∠ABC, то ∠ABC=2∙∠BKC=2∙(α-45º)=2α-90º.
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
∠A=90º-∠ABC=90º-(2α-90º)=90º-2α +90º=180º-2α.
Ответ: 2α-90º; 180º-2α.
II. Если угол α — тупой.
Дано:
∆ABC, ∠С=90º,
CF и BK — биссектрисы,
CF и BK пересекаются в точке N,
∠СNB=α
Найти: ∠A, ∠СBA.
Решение:
1) Рассмотрим треугольник CNB.
Так как CF — биссектриса прямого угла ACB, то ∠KCN=90:2=45º.
∠СNB=α (по условию).
Так как сумма углов треугольника равна 180º,
∠NBC=180º-45º- α=135º- α.
2) Рассмотрим треугольник ABC.
Так как BK — биссектриса ∠ABC, то ∠ABC=2∙∠BKC=2∙(135º- α)=270º- 2α.
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
∠A=90º-∠ABC=90º-(270º- 2α)=90º-270º+ 2α=2α -180º.
Ответ: 270º- 2α; 2α -180º.