Теорема.
(3-й признак ромба)
Если у четырехугольника все стороны равны, то он является ромбом.
Дано:
ABCD — четырехугольник,
AB=BC=CD=AD.
Доказать:
ABCD — ромб.
Доказательство:
1) Проведем в четырехугольнике ABCD диагональ AC.
2) Так как AB=BC (по условию), то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по определению).
Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠BAC=∠BCA.
3) Аналогично, треугольник ADC — равнобедренный с основанием AC и ∠DAC=∠DCA.
4) В треугольниках ABC и ADC:
AB=AD и BC=DC (по условию);
сторона AC — общая.
Следовательно, треугольники ABC и ADC равны (по трем сторонам).
5) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
∠BAC=∠DAC и ∠BCA=∠DCA.
Следовательно, ∠BAC=∠DCA.
Поскольку эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC, то AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).
6) В четырехугольнике ABCD две стороны AB и CD параллельны и равны. Значит, ABCD — параллелограмм (по признаку).
А так как у него все стороны равны (по условию), то ABCD — ромб (по определению).
Что и требовалось доказать.