Диагонали трапеции пересекаются в точке. Что можно сказать об образовавшихся треугольниках, прилежащих к основаниям?
Утверждение.
Если диагонали трапеции пересекаются в точке, то образованные при этом прилежащие к основаниям треугольники подобны.
Дано: ABCD — трапеция,
Доказать:
Доказательство:
В треугольниках AOD и COB
1) ∠AOD=∠COB (как вертикальные)
2) ∠DAO=∠BCO (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC).
Следовательно, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).
Что и требовалось доказать.
Задача.
Одна из диагоналей трапеции равна 14 см и делит другую диагональ на отрезки длиной см и см. Найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ.
Дано: ABCD — трапеция,
AC=14 см, DO=20 см, BO=8 см.
Найти: AO, CO.
Решение:
(доказали в утверждении выше).
Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
Пусть CO=x см, тогда AO=(14-x) см. Отсюда
Значит, CO=4 см, AO=14-4=10 см.
Ответ: 4 см, 10 см.