Рассмотрим задачи в которых известна сумма углов параллелограмма.
Сумма всех четырёх углов параллелограмма равна 360° (как сумма углов выпуклого четырёхугольника).
Для параллелограмма ABCD
∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
Сумма двух углов параллелограмма
Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей).
Для параллелограмма ABCD
∠A+∠B=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD||BC и секущей AB);
∠C+∠D=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD||BC и секущей CD);
∠A+∠D=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AB||CD и секущей AD);
∠B+∠C=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AB||CD и секущей BC).
Если в задаче известна сумма двух углов параллелограмма, отличная от 180°, то речь идёт о сумме противолежащих углов.
Поскольку противолежащие углы параллелограмма равны, то чтобы найти эти углы, достаточно данную сумму разделить пополам.
Задача 1
Найти углы параллелограмма, если сумма двух его углов равна 110°.
Решение:
Так как сумма углов отлична от 180°, то эти углы — противолежащие. Противолежащие углы параллелограмма равны, поэтому каждый из них равен 110:2=55°.
Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей), то каждый из двух оставшихся углов равен 180-55=125°.
Ответ: 55°, 125°.
Сумма трёх углов параллелограмма
Если известна сумма трёх углов параллелограмма, то сумма двух из них равна 180° (как сумма внутренних односторонних при параллельных прямых и секущей). Значит, если из суммы трёх углов, вычесть 180°, то получим третий угол.
Можно рассуждать иначе. Так как сумма всех четырёх углов параллелограмма равна 360°, то четвёртый угол равен разности 360° и данной суммы.
Задача 2
Найти углы параллелограмма, если трёх его углов равна 310°.
Решение:
Сумма двух из трёх углов параллелограмма равна 180°.
Следовательно, третий угол равен 310-180=130°.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей). Поэтому каждый из двух оставшихся углов равен 180-130=50°.
Второй способ:
360-310=50°;
180-50=130°.
Ответ: 50°, 130°.