Соотношения между сторонами и углами треугольника помогают сравнивать углы треугольника, зная соотношение его сторон, и наоборот.
Теорема
(соотношения между сторонами и углами треугольника).
В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) против большего угла лежит большая сторона.
1) Дано: ∆ ABC, AC>AB.
Доказать: ∠B>∠C.
Доказательство:
Отложим на стороне AC отрезок AK: AK=AB.
Так как AC>AB, то точка K лежит между точками A и C. Следовательно, ∠ABC=∠ABK+∠KBC, то есть ∠ABC>∠ABK.
Так как AK=AB, то треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK.
Значит, у него углы при основании равны: ∠ABK=∠AKB.
Для треугольника BCK ∠AKB — внешний.
Поэтому ∠AKB=∠KBC+∠C, а значит, ∠AKB>∠C.
Имеем:
![\[\left. \begin{array}{l} \angle ABC > \angle ABK\\ \angle ABK = \angle AKB\\ \angle AKB > \angle C \end{array} \right\} \Rightarrow \angle ABC > \angle C.\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4185368a802a8593f89dc96f1849992e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2) Дано: ∆ ABC,
∠B>∠C.
Доказать: AC>AB.
Доказательство:
(методом от противного).
Предположим, что неравенство AC>AB — неверное. Тогда либо AC=AB, либо AC<AB.
Если AC=AB, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC и у него углы при основании равны: ∠B=∠C, что противоречит условию.
По доказанному в пункте 1), против большей стороны лежит больший угол. Поэтому, если AC<AB, то ∠B<∠C. Снова пришли к противоречию.
Значит, выдвинутое нами предположение неверно. Следовательно, AC>AB.
Что и требовалось доказать.
опечатка!
В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
1) против большего угла лежит большая сторона.
под вторым пунктом должно быть 2) а не 1)
Анна, спасибо!