Площадь прямоугольной трапеции, её основания и острый угол|

Задача 1.

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 11 и 15,

бо́льшая боковая сторона составляет с основанием угол 45º.

Решение:

ploshchad-pryamougolnoy-trapecii-po-osnovaniyam-uglu-45 В трапеции ABCD проведем высоту CH.

Четырёхугольник ADCH — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, у него противолежащие стороны равны:

AH=CD=11.

BH=AB-AH=15-11=4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, ∠BCH=90° -∠B=90° -45°=45°.

Значит треугольник BCH — равнобедренный и CH=BH=4.

Площадь трапеции ABCD равна

${S_{ABCD}} = \frac{{AB + CD}}{2} \cdot CH = \frac{{15 + 11}}{2} \cdot 4 = 52.$

Ответ: 52.

Задача 2.

Основания прямоугольной трапеции равны 8 и 12. Её площадь равна 40.

Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

nayti-ugol-trapecii-po-osnovaniyam-i-ploshchadi Проведём высоту CH.

Площадь трапеции ABCD равна

${S_{ABCD}} = \frac{{AB + CD}}{2} \cdot CH,$

откуда

$2{S_{ABCD}} = (AB + CD) \cdot CH,$

$CH = \frac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = \frac{{2 \cdot 40}}{{8 + 12}} = 4.$

Четырёхугольник ADCH — прямоугольник (так как у него все углы прямые).

Следовательно, у него противолежащие стороны равны: AH=CD=8.

BH=AB-AH=12-8=4.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике BCH BH=CH=4. Значит, этот треугольник равнобедренный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°: ∠B+∠BCH=90°.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠B=∠BCH.

Отсюда следует, что

$\angle B = \angle BCH = \frac{{{{90}^o}}}{2} = {45^o}.$

Ответ: 45.

Площадь прямоугольной трапеции, её основания и острый угол