Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно найти по стороне и проведённой к этой стороне высоте, по двум сторонам и углу, по диагоналям и углу между ними.

I. Площадь параллелограмма по стороне и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению стороны параллелограмма на высоту, проведённую к этой стороне.

Формула для нахождения площади параллелограмма через сторону и высоту:

$S = a \cdot {h_a}$

ploshchad-parallelogramma Например,площадь параллелограмма ABCD через высоту можно найти по одной из формул:

${S_{ABCD}} = AD \cdot BF$

или

ploshchad-parallelogramma-cherez-vysotu

${S_{ABCD}} = CD \cdot BK$

II. Площадь параллелограмма по сторонам и углу

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Формула для нахождения площади параллелограмма через стороны и угол:

$S = ab\sin \alpha$

ploshchad-parallelogramma-po-storonam-i-uglu Например, площадь параллелограмма ABCD

${S_{ABCD}} = AD \cdot AB \cdot \sin \angle BAD$

По свойствам параллелограмма, противоположные углы параллелограмма равны:

$\angle A = \angle C$

$\angle B = \angle D$

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º, то есть,

$\angle B = {180^o} - \angle A$

$\angle D = {180^o} - \angle A$

А так как синус тупого угла равен синусу смежного ему угла, то

$\sin \angle B = \sin ({180^o} - \angle A) = \sin \angle A$

$\sin \angle D = \sin ({180^o} - \angle A) = \sin \angle A$

Таким образом, площадь параллелограмма можно найти как произведение его двух любых не смежных сторон на синус любого угла.

III. Площадь параллелограмма по диагоналям

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Формула площади параллелограмма через диагонали:

$S = \frac{1}{2}{d_1} \cdot {d_2} \cdot \sin \varphi$

ploshchad-parallelogramma-po-diagonalyam Например, площадь параллелограмма ABCD

${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \angle COD$

А так как

$\sin \angle AOD = \sin ({180^o} - \angle COD) = \sin \angle COD,$

то в качестве угла между диагоналями можно брать любой угол — как острый, так и тупой (прямой — в ромбе и квадрате).