Найти внешний угол равнобедренного треугольника |

Найти внешний угол равнобедренного треугольника

Рассмотрим задачи, в которых фигурирует внешний угол при вершине равнобедренного треугольника.

vneshniy-ugol-ravnobedrennogo-treugolnikaЗадача 1.

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, угол C равен 42°, угол CBD — внешний.

Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах.

vneshniy-ugol-v-ravnobedrennom-treugolnikeРешение:

1-й способ — использовать теорему о внешнем угле треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних  не смежных с ним углов.

    \[\angle CBD = \angle A + \angle C.\]

Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

    \[\angle A = \angle ABC\]

Сумма углов треугольника равна 180°.

Следовательно, угол при основании равнобедренного треугольника

    \[\angle A = \frac{{{{180}^o} - \angle C}}{2} = \frac{{{{180}^o} - {{42}^o}}}{2} = {69^o}.\]

Отсюда находим угол CBD:

    \[\angle CBD = \angle A + \angle C = {69^o} + {42^o} = {111^o}.\]

2-й способ — если не помните теорему  о внешнем угле треугольника, найти внешний угол как угол, смежный с внутренним.

    \[\angle A = \angle ABC = \frac{{{{180}^o} - \angle C}}{2} = \frac{{{{180}^o} - {{42}^o}}}{2} = {69^o}.\]

    \[\angle CBD + \angle ABC = {180^o}\]

(как смежные). Поэтому

    \[\angle CBD = {180^o} - \angle ABC = {180^o} - {69^o} = {111^o}.\]

3-й способ — применить формулу.

Внешний угол при основании равнобедренного треугольника на 90º больше половины внутреннего угла при его вершине:

    \[\angle CBD = \frac{{\angle C}}{2} + {90^o} = \frac{{{{42}^o}}}{2} + {90^o} = {111^o}.\]

Ответ: 111.

vneshniy-ugol-ravnobedrennogo-treugolnikaЗадача 2.

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 103°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение:

∠CBD=103°, ∠CBD+∠ABC=180° (как смежные).

Следовательно, ∠ABC=180° -∠CBD=180° -103°=77°.

Так как AC=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB.

∠ABC=∠A=77° (как углы при основании).

Так как сумма углов треугольника равна 180°,

∠С=180° -(∠ABC+∠A)=180° -(77°+77°)=26°.

Ответ: 26.

vneshniy-ugol-pri-vershine-b-v-ravnobedrennom-treugolnikeЗадача 3.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC. Внешний угол при вершине B равен 156°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1-й способ:

∠CBD=156°, ∠CBD+∠ABC=180° (как смежные).

Следовательно, ∠ABC=180° -∠CBD=180° -156°=24°.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

    \[\angle A = \angle C = \frac{{{{180}^o} - \angle ABC}}{2} = \frac{{{{180}^o} - {{24}^o}}}{2} = {78^o}.\]

2-й способ:

vneshniy-ugol-pri-vershine-ravnobedrennogo-treugolnikaВнешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Соответственно, внешний угол при вершине равнобедренного треугольника в два раза больше угла при основании. Отсюда

    \[\angle C = \frac{{\angle CBD}}{2} = \frac{{{{156}^o}}}{2} = {78^o}.\]

Ответ: 78.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *