Теорема (признак параллельности прямых).
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
Дано: a||c, b||c
Доказать: a||b
Доказательство (методом от противного):
Предположим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке C.
Получили, что через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c.
Но по аксиоме параллельных через точку, не лежащую на данной прямой, на плоскости можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Пришли к противоречию. Противоречие получили потому, что предположили, что прямые a и b пересекаются.
Отсюда следует, что прямые a b и не могут пересекаться. Значит, они параллельны.
Что и требовалось доказать.