Угол между биссектрисами углов параллелограмма |

Угол между биссектрисами углов параллелограмма

Утверждение 1

Угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равен 90°.

Ugol mezhdu bissektrisami uglov parallelogramma prilezhashchih k odnoj storoneДано: ABCD — параллелограмм, AK — биссектриса ∠BAD,

BF — биссектриса ∠ABC,

AK∩BF=P

Доказать: ∠APB=90°

Доказательство:

∠BAD+∠ABC=180° (как сумма односторонних углов при AD||BC и секущей AB).

Так как AK — биссектриса угла BAD, то

    \[\angle BAP = \frac{1}{2}\angle BAD.\]

Так как BF — биссектриса угла ABC, то

    \[\angle ABP = \frac{1}{2}\angle ABC.\]

Из треугольника ABP по теореме о сумме углов треугольника

    \[\angle BAP + \angle ABP + \angle APB = {180^o}\]

    \[\frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle ABC + \angle APB = {180^o}\]

Общий множитель 1/2 выносим за скобки

    \[\frac{1}{2}(\angle BAD + \angle ABC) + \angle APB = {180^o}\]

    \[\frac{1}{2} \cdot {180^o} + \angle APB = {180^o}\]

Отсюда находим

    \[\angle APB = {180^o} - {90^o} = {90^o}.\]

Что и требовалось доказать.

Итак,

Биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

Утверждение 2

Биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.

Ugol mezhdu bissektrisami protivolezhashchih uglov parallelogrammaДано: ABCD — параллелограмм, AK — биссектриса ∠BAD,

CM — биссектриса ∠BCD

Доказать: AK||CM

Доказательство:

Так как AK — биссектриса угла BAD, то

    \[\angle BAK = \angle DAK = \frac{1}{2}\angle ABD.\]

Так как CM — биссектриса угла BCD, то

    \[\angle BCM = \frac{1}{2}\angle BCD.\]

∠BAD=∠BCD (как противолежащие углы параллелограмма).

Следовательно, их половины также равны: ∠DAK=∠BCM.

Ugol mezhdu bissektrisami protivopolozhnyh uglov parallelogramma∠DAK=∠BKA (как накрест лежащие при AD||BC и секущей AK).

Значит, ∠BKA=∠BCM.

А так как эти углы — соответственные при прямых AK и CM и секущей BC, то AK||CM (по признаку параллельности прямых).

Что и требовалось доказать.

Если ABCD — ромб, то диагональ AC является биссектрисой противолежащих углов BAD и BCD, то есть в этом случае биссектрисы противолежащих углов лежат на одной прямой.

Угол между параллельными прямыми равен нулю. Соответственно,

угол между биссектрисами противолежащих углов параллелограмма равен нулю.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *