Основание равнобедренной трапеции по двум сторонам и синусу

Основание равнобедренной трапеции по сторонам и синусу

Задача.

Большее основание равнобедренной трапеции равно 26. Боковая сторона равна 4. Синус острого угла равен √55/8. Найдите меньшее основание.

Решение:

ploshchad-ravnobedrennoy-trapecii-cherez-storonyПроведём высоту трапеции DH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH.

По основному тригонометрическому тождеству

 

    \[{\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1,\]

откуда

    \[{\cos ^2}A = 1 - {\sin ^2}A\]

    \[{\cos ^2}A = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt {55} }}{8}} \right)^2} = {1^{\backslash 64}} - \frac{{55}}{{64}} = \frac{9}{{64}}.\]

Так как угол A — острый, то cosA>0, то есть

    \[\cos A = \sqrt {\frac{9}{{64}}} = \frac{3}{8}.\]

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

    \[\cos A = \frac{{AH}}{{AD}}.\]

Поэтому

    \[AH = AD \cdot \cos A = 4 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{2}.\]

Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований трапеции:

    \[AH = \frac{{AB - CD}}{2}.\]

Следовательно,

    \[CD = AB - 2AH = 26 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 26 - 3 = 23.\]

Ответ: 23.

Можно AH найти иначе.

Сначала для треугольника ADH воспользоваться определением синуса острого угла прямоугольного треугольника:

    \[\sin A = \frac{{DH}}{{AD}},\]

    \[DH = AD \cdot \sin A = 4 \cdot \frac{{\sqrt {55} }}{8} = \frac{{\sqrt {55} }}{2}.\]

Затем по теореме Пифагора найти AH:

    \[A{D^2} = A{H^2} + D{H^2},\]

    \[AH = \sqrt {A{D^2} - D{H^2}} \]

    \[AH = \sqrt {{4^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt {55} }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{16}^{\backslash 4}} - \frac{{55}}{4}} = \sqrt {\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}.\]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *