Теорема Вариньона. Параллелограмм Вариньона. Следствия |

В школьном курсе теорема Вариньона часто фигурирует в качестве обычной задачи, в которой требуется доказать, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Её доказательство основано на свойствах средней линии треугольника.

Теорема (Вариньона)

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

teorema-varinona Дано: ABCD — четырёхугольник,

M, N, K, F — середины его сторон.

Доказать: MNKF — параллелограмм.

Доказательство:

serediny-storon-chetyrekhugolnika-vershiny-parallelogramma 1) Проведём диагональ AC.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как точки M и N — середины сторон AB и BC, отрезок MN — средняя линия треугольника ABC.

По свойствам средней линии треугольника,

$MN\parallel AC,$

$MN = \frac{1}{2}AC.$

3) Аналогично, FK — средняя линия треугольника ADC и

$FK\parallel AC,$

$FK = \frac{1}{2}AC.$

4) По признаку параллельности прямых, две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:

$\left. \begin{array}{l} MN\parallel AC\\ FK\parallel AC \end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel FK$

А так как

$MN = \frac{1}{2}AC$

$FK = \frac{1}{2}AC,$

то MN=FK.

5) В четырёхугольнике MKNF противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, MKNF — параллелограмм (по признаку).

Что и требовалось доказать.

Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются только выпуклые четырёхугольники, доказательство приведено только для этого случая. Но и для невыпуклых четырёхугольников (в том числе, и для самопересекающихся), теорема также верна (доказывается аналогично).

Параллелограмм, образованный серединами сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона (вариньоновским, вариньоновым).

Следствие 1.

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника:

${P_{MNKF}} = AC + BD$