Середины сторон прямоугольника

Задача.

Доказать, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

serediny-storon-pryamougolnika Дано: ABCD — прямоугольник,

M, N, K, F — середины его сторон.

Доказать: MKNF — ромб.

Доказательство:

serediny-storon-pryamougolnika-yavlyayutsya-vershinami-romba 1) Проведём диагонали AC и BD.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как F и M — середины AB и BC, FM- средняя линия треугольника ABC.

$FM = \frac{1}{2}AC.$

3) Аналогично, в треугольнике ADC

$KN = \frac{1}{2}AC,$

в треугольнике ABD

$FK = \frac{1}{2}BD,$

в треугольнике BCD

$MN = \frac{1}{2}BD.$

Значит, FM=MN=KN=FK. Следовательно, MNKF — ромб (по признаку).

Что и требовалось доказать.

По доказанному, сторона ромба равна половине диагонали прямоугольника. Следовательно, периметр ромба равен удвоенной длине диагоналям прямоугольника:

${P_{MNKF}} = 2 \cdot AC.$

serediny-storon-pryamougolnika-vershiny-romba Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

${S_{MNKF}} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot FN$

Диагонали ромба MNKF равны сторонам прямоугольника ABCD, следовательно, площадь ромба равна половине произведения сторон прямоугольника:

${S_{MNKF}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD.$

и половине площади прямоугольника:

${S_{MNKF}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}$

Середины сторон прямоугольника — вершины ромба