Где находится центр описанной около треугольника окружности? Что можно сказать о центре окружности, описанной около многоугольника?
Теорема.
Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Дано: ∆ ABC,
окружность (O;R) — описанная около ∆ ABC.
Доказать:
O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ∆ ABC.
Доказательство:
Соединим отрезками точки O и A, O и C.
OA=OC (как радиусы), следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению).
По свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):
Следовательно, центр описанной окружности — точка O — лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к AC.
Аналогично доказывается, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.
Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности.
Что и требовалось доказать.
Замечание.
Аналогичные рассуждения можно применить и для многоугольника, около которого можно описать окружность.
Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.
Здравствуйте!
на мой взгляд у вас опечатка — «Соединим отрезками точки O и A, O и C.
OA=OB( написано ОВ вместо ОС) (как радиусы), следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AC (по определению).»
Спасибо, Максим! Да, была опечатка.