Высота трапеции, основания и радиус описанной окружности |

Задача.

Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 24.

Радиус описанной окружности равен 20.

Центр окружности лежит внутри трапеции.

Найдите высоту трапеции.

Решение:

vysota-trapecii-po-radiusu-i-osnovaniyam Отметим центр окружности — точку О.

Через точку О проведём высоту трапеции EK,

EK⊥AB, EK⊥CD.

Треугольники AOB и COD — равнобедренные (так как OA=OB=OC=OD=R=20).

Следовательно, OK и OE — высота и медиана треугольника AOB, OE — высота и медиана треугольника COD.

Поэтому

$AK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16,$

$DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOK. По теореме Пифагора

$A{O^2} = A{K^2} + O{K^2},$

$OK = \sqrt {A{O^2} - A{K^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{16}^2}} = 12.$

Аналогично из треугольника DOE

$OE = \sqrt {D{O^2} - D{E^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{12}^2}} = 16.$

Таким образом, высота EK=OK+OE=12+16=28.

Ответ: 28.

Высота трапеции, основания и радиус описанной окружности