Высота равнобедренной трапеции |

Это свойство равнобедренной трапеции удобно доказать в общем виде в начале изучения темы, чтобы в дальнейшем использовать его при решении задач.

Утверждение.

Высота равнобедренной трапеции, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

vyisota ravnobedrennoy trapetsii AD=a,

BC=b

$AF = \frac{{a - b}}{2}$

$DF = \frac{{a + b}}{2}$

vyisota ravnobedrennoy trapetsii provedennaya iz tupogo ugla Дано: ABCD — трапеция,

AD || BC, AB=CD, AD>BC,

AD=a, BC=b,

$BF \bot AD$

Доказать:

$AF = \frac{{a - b}}{2}$

$DF = \frac{{a + b}}{2}$

Доказательство:

v ravnobedrennoy trapetsii vyisota delit 1) Проведем высоту CK:

$CK \bot AD,CK \bot BC.$

2) Четырехугольник ABCD — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, его противоположные стороны равны: FK=BC=b.

3) Рассмотрим треугольники ABF и DCK.

∠AFB=90º, ∠DKC=90º (так как BF и CK — высоты трапеции).

AB=CD (по условию),

BF=CK (как высоты трапеции).

Следовательно, треугольники ABF и DCK равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

$AF = KD = \frac{{AD - FK}}{2} = \frac{{a - b}}{2}.$

$FD = FK + KD = {b^{\backslash 2}} + \frac{{a - b}}{2} =$

$= \frac{{2b + a - b}}{2} = \frac{{a + b}}{2}.$

Что и требовалось доказать.

Поскольку средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, длина отрезка FD равна длине средней линии трапеции.

Задача

Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на отрезки равные 24 и 16. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение:

vysota-ravnobedrennoy-trapecii-iz-tupogo-ugla

$MN = FD = \frac{{AD + BC}}{2} =$

$= \frac{{24 + 16}}{2} = 20.$

Ответ: 20.

Высота равнобедренной трапеции

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Навигация по сайту

Рубрики