В выпуклом четырёхугольнике

Задача

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  углы BCA и BDA равны.

Доказать, что углы ABD и ACD также равны.

Дано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

∠BCA=∠BDA

Доказать:

∠ABD=∠ACD

Доказательство:

Пусть AC∩BD=O.

I. Рассмотрим треугольники AOD и BOC.

1) ∠ADO=∠BCO (по условию);

2) ∠AOD=∠BOC (как вертикальные).

Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны (по двум углам). Значит, их соответствующие стороны пропорциональны:

   

Если в верной пропорции поменять местами средние члены, то получившаяся новая пропорция также будет верна. Отсюда,

   

II. Рассмотрим треугольники AOB и DOC.

1) ∠AOB=∠DOC (как вертикальные);

   

(по доказанному).

Следовательно, треугольники AOB и DOC подобны (по двум сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов: ∠ABO=∠DCO, то есть ∠ABD=∠ACD.

Что и требовалось доказать.