Угол между высотой и биссектрисой из одной вершины

Утверждение

Угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины треугольника. равен полуразности двух других его углов.

Ugol mezhdu vysotoj i bissektrisoj, provedyonnymi iz odnoj vershiny Дано: ΔАВС,

∠А=α, ∠В=β, α>β,

∠НСF=φ

Доказать:

$\varphi = \frac{{\alpha - \beta }}{2}$

Доказательство:

По теореме о сумме углов треугольника

$\angle ACB = {180^o} - (\angle A + \angle B) = {180^o} - (\alpha + \beta )$

Так как CF — биссектриса угла ACB, то

$\angle FCB = \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{{{{180}^o} - (\alpha + \beta )}}{2} = {90^o} - \frac{{\alpha + \beta }}{2}$

Угол HFC — внешний угол треугольника CBF при вершине F. Поэтому

$\angle HFC = \angle FCB + \angle B = {90^o} - \frac{{\alpha + \beta }}{2} + \beta$

Так как CH — высота треугольника ABC, то треугольник HCF — прямоугольный.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам, то

$\angle HCF = {90^o} - \angle HFC = {90^o} - \left( {{{90}^o} - \frac{{\alpha + \beta }}{2} + \beta } \right) =$

$= \frac{{\alpha + \beta }}{2} - {\beta ^{\backslash 2}} = \frac{{\alpha + \beta - 2\beta }}{2} = \frac{{\alpha - \beta }}{2}.$

Что и требовалось доказать.

Условие α>β взято для определённости.

При α=β треугольник равнобедренный, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают, соответственно, φ=0°.

Угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины треугольника