3 признак равенства треугольников

Теорема

(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

ΔABC,

ΔA₁B₁C₁,

AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, BC=B₁C₁.

Доказать:

ΔABC= ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

Приложим треугольник A₁B₁C₁ к треугольнику ABC так, чтобы

• вершина A₁ совместилась с вершиной A,
• вершина B₁ совместилась с вершиной B,
• точки C₁ и C лежали по разные стороны от прямой AB.

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC₁ и угла ACB.

I. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.

Проведём отрезок CC₁.

По условию AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, поэтому треугольники ACC₁ и BCC₁ — равнобедренные с основанием CC₁.

По свойству равнобедренного треугольника, ∠ACC₁=∠AC₁C и ∠BCC₁=∠BC₁C.

Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC₁B.

Точки A₁ и A, B₁ и B совмещены, то есть ∠AC₁B и ∠A₁C₁B₁ — один и тот же угол.

Для треугольников ABC и A₁B₁C₁ имеем:

AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ (по условию), ∠ACB=∠A₁C₁B₁ (по доказанному).

Следовательно, ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

 

II. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, треугольники ACC₁ и BCC₁ — равнобедренные с основанием CC₁ и ∠ACC₁=∠AC₁C и ∠BCC₁=∠BC₁C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC₁B и ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

 

III. Луч CC₁ совпадает со стороной угла ACB.

По условию BC=B₁C₁, поэтому треугольник BCC₁ — равнобедренный с основанием CC₁.

Отсюда ∠C₁=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.