Теорема Пифагора

Теорема Пифагора в геометрии важна не меньше, чем таблица умножения в арифметике. Решение многих геометрических задач (как в планиметрии, так и в стереометрии), сводится к рассмотрению прямоугольных треугольников и применению этой замечательной теоремы.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Существует множество разнообразных способов доказательства теоремы Пифагора. Ограничимся лишь одним из них.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º.

Доказать:

   

Доказательство:

Пусть BC=a, AC=b, AB=c.

На гипотенузе AB построим квадрат со стороной c.

 

 

На продолжении стороны AC отложим отрезок AF, AF=a,

на продолжении стороны BC — отрезок BK, BK=b.

CF=AF+AC=a+b, CK=BC+BK=a+b, то есть CF=CK=a+b.

Через точки F и K проведём прямые, параллельные катетам:

   

Четырёхугольник CFPK — параллелограмм (по определению).

А так как ∠C=90º и CF=CK, то CFPK — квадрат со стороной a+b.

Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то

   

С другой стороны, площадь CFPK равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников с катетами b и c и квадрата со стороной c.

Площадь прямоугольного треугольника равны половине произведения его катетов:

   

площадь квадрата со стороной c равна c².

Следовательно,

   

Приравняем правые части формул площади CFPK:

   

Имеем:

   

После упрощения получаем

   

то есть,

   

Что и требовалось доказать.

Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты чаще всего обозначаются как a и b , а гипотенуза — как c, то формула теоремы Пифагора обычно записывается именно так: