I. Теорема
(Свойства сторон и углов параллелограмма)
В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.
Дано:
ABCD — параллелограмм.
Доказать:
AB=CD, AD=BC,
∠A=∠C, ∠B=∠D.
Доказательство:
Проведем в параллелограмме ABCD диагональ BD.
Рассмотрим треугольники ABD и CDB.
(Важно правильно назвать треугольники!)
1) сторона BD — общая
2) ∠ABD=∠CDB (как накрест лежащие при AB||CD и секущей BD)
3) ∠ADB=∠CBD (как накрест лежащие при AD||BC и секущей BD)
Значит, ∆ABD= ∆CDB (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
AB=CD, AD=BC
и равенство соответствующих углов:
∠A=∠C.
В пунктах 2) и 3) обосновано, что ∠ABD=∠CDB и ∠ADB=∠CB.
Следовательно,
∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB=∠ADC,
то есть, ∠B=∠D.
Что и требовалось доказать.
II. Свойство углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º.
Это свойство непосредственно вытекает из того, что углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, являются односторонними углами при параллельных прямых.
Для параллелограмма ABCD:
∠A+∠B=180º (как односторонние при AD||BC и секущей AB);
∠C+∠D=180º (как односторонние при AD||BC и секущей CD);
∠A+∠D=180º (как односторонние при AB||CD и секущей AD);
∠B+∠C=180º (как односторонние при AB||CD и секущей BC).