Свойства перпендикуляра и наклонной вытекают из теоремы Пифагора и признаков равенства прямоугольных треугольников.
Свойства перпендикуляра и наклонной
1) Любая наклонная больше перпендикуляра.
Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,
AC — наклонная.
Доказать: AC>AB.
Доказательство:
Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольник ABC — прямоугольный.
По теореме Пифагора AC²=AB²+BC².
Так как BC>0, то и BC²>0.
Следовательно, AB²+BC²>AB². Отсюда, AC²>AB². Поскольку AC>0 и AB>0, то AC>AB.
Что и требовалось доказать.
2) Равные наклонные имеют равные проекции.
Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,
AC и AD — наклонные,
BC и BD — их проекции,
AC=AD.
Доказать: BC=BD.
Доказательство:
Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.
1) AC=AD (по условию);
2) AB — общая сторона.
Следовательно, треугольники ABC и ABD равны (по катету и гипотенузе).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, BC=BD.
Что и требовалось доказать.
И обратно: если проекции наклонных равны, то и наклонные тоже равны.
Кроме того, из этого доказательства следует, что равные наклонные образуют равные углы с прямой a; углы между равными наклонными и перпендикуляром также равны.
3) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,
AC и AD — наклонные,
BC и BD — их проекции,
BC>BD.
Доказать: AC>AD.
Доказательство:
Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.
По теореме Пифагора AC²=AB²+BC² и AD²=AB²+BD².
Отсюда, AB²=AC²-BC² и AB²=AD²-BD².
Приравнивая правые части равенств, имеем: AC²-BC²=AD²-BD².
Так как BC>BD, то и BC²>BD².
Значит, и AC²>AD². А так как AC>0 и AD>0, то AC>AD.
Что и требовалось доказать.
И обратно: большей наклонной соответствует большая проекция.