Свойства параллельных прямых

Свойства параллельных прямых — теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

• Теорема1. 

Если прямые параллельны, то накрест лежащие углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, равны.

Дано: a||b, c — секущая
Доказать: ∠1=∠2

Доказательство:

Доказательство проведём методом от противного.

Предположим, что внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 не равны.

Пусть прямые a и c пересекаются в точке A.

Проведём через точку A прямую a₁ так, чтобы накрест лежащие углы, образованные прямыми a₁ и b и секущей c, были равны.

Тогда по признаку параллельности прямых

   

Однако, по условию a||b.

А по аксиоме параллельных прямых через точку A можно провести только одну прямую, параллельную b.

Пришли к противоречию. Противоречие получили потому, что предположили, что накрест лежащие углы 1 и 2 не равны. Следовательно, ∠1=∠2.

Что и требовалось доказать.

• Теорема 2.

Если прямые параллельны, то соответственные углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, равны.

Дано: a||b,

c — секущая

Доказать:∠1=∠3

Доказательство:

∠2=∠3 (как вертикальные).

∠1 и ∠2 — накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей c.

По теореме 1, доказанной выше, ∠1=∠2.

Следовательно, ∠1=∠3.

Что и требовалось доказать.

• Теорема 3.

Если прямые параллельны, то сумма односторонних углов, образованных при пересечении этих прямых секущей, равна 180°.

Дано: a||b,

c — секущая

Доказать: ∠2+∠4=180°

Доказательство:

∠1+∠4=180° (как смежные).

По теореме 1, доказанной выше, ∠1=∠2 (как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c).

Отсюда следует, что и ∠2+∠4=180°.

Что и требовалось доказать.

• Теорема 4.

Если прямая параллельна одной из двух параллельных прямых, то она параллельна и другой прямой.

Дано: a||b, a||c

Доказать: c||b

Доказательство:

Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что прямые c и b не параллельны.

Тогда она пересекаются в некоторой точке C.

По условию a||b и a||c, то есть в этом случае через точку C проходит две прямые, параллельные прямой a.

Но по аксиоме параллельных прямых через точку C можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Пришли к противоречию. Противоречие получили, потому что предположили, что прямые c и b не параллельны.

Значит, c||b.

Что и требовалось доказать.

• Теорема 5.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

Дано: a||b,

a⊥c

Доказать: b⊥c

Доказательство:

Углы 2 и 4 — односторонние углы при параллельных прямых a и b и секущей c.

По теореме 3, доказанной выше, ∠2+∠4=180°.

Так как a⊥c, то ∠4=90°.

Следовательно, ∠2=180°- ∠4=180°- 90°=90°, то есть b⊥c.

Что и требовалось доказать.