Симметрия прямоугольника

Какова симметрия прямоугольника? Есть ли у прямоугольника ось симметрии и центр симметрии?

Утверждение

Прямоугольник имеет две оси симметрии.

Осями симметрии прямоугольника являются прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Доказательство:

Пусть O — точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, K и F — точки пересечения прямой, проходящей через точку O параллельно стороне AB, со сторонами AD и BC. Тогда 

   

Прямоугольные треугольники AOK и DOK равны по катету и гипотенузе (OK- общий катет, OA=OD по свойству диагоналей параллелограмма). Следовательно, AK=DK, то есть прямая FK проходит через середину стороны AD.

Отметим на стороне AB произвольную точку X. Проведём прямую через точку X прямую, перпендикулярную прямой FK. Точки пересечения этой прямой с прямыми FK и CD обозначим через P и X1.

Четырёхугольники AXPK и KPX1D — прямоугольники (так как у них все углы прямые). Следовательно, XP=AK, PX1=KD. А так как AK=DK, то и XP=PX1. Значит, X1 — точка, симметричная точке X относительно прямой FK.

Имеем: точка, симметричная относительно прямой FK произвольной точке прямоугольника, также принадлежит прямоугольнику.

Точки F и K симметричны сами себе относительно прямой FK.

Таким образом, FK — ось симметрии прямоугольника.

Аналогично доказывается, что прямая, проходящая через точку O параллельно AD является осью симметрии ABCD.

Что и требовалось доказать.

Утверждение.

Прямоугольник — центрально симметричная фигура.

Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.

Так как параллелограмм — центрально-симметричная фигура с центром симметрии в точке пересечения диагоналей, то это верно и для частного случая параллелограмма — прямоугольника.