В различных школьных учебниках определение равных векторов даётся по-разному.
В классическом учебнике Погорелова А. В. понятие равных векторов вводится с помощью параллельного переноса.
Определение 1
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.
(то есть существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого).
Например, изображенные на рисунке
и
— равные векторы.
Равенство векторов обозначают так:
Теорема
(Свойства равных векторов)
1) Равные векторы сонаправлены и имеют равные длины.
2) Равные векторы имеют равные координаты.
3) От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
Доказательство:
1) 1-е свойство вытекает непосредственно из определения равных векторов и свойств параллельного переноса.
2) Пусть дан вектор
с началом в точке A(x1; y1) и концом в точке B(x2; y2).
По определению равных векторов, вектор
равный данному, получен из
параллельным переносом.
Если этот параллельный перенос задан формулами
то A′(x1+m; y1+n), B′(x2+m; y2+n).
Найдём координаты каждого из векторов:
То есть координаты равных векторов
и
равны.
Что и требовалось доказать.
Таким образом, координаты задают длину и направление вектора, но не фиксируют его.
3) Пусть даны вектор
и точка C.
Существует и притом единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку C — параллельный перенос на вектор
При таком параллельном переносе вектор
переходит в вектор
По определению равных векторов,
Что и требовалось доказать.
На практике, если требуется отложить от некоторой точки вектор, равный данному, удобно это делать с помощью параллелограмма (если точка, от которой откладывается вектор, не лежит на прямой, содержащей этот вектор).
Например,
вектор
отложенный от точки C, равен вектору
Теорема
(Признаки равенства векторов)
1) Если векторы сонаправлены и имеют одинаковые длины, то они равны.
2) Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
Доказательство:
1) Пусть векторы
и
сонаправлены и имеют одинаковые длины.
Параллельный перенос, который переводит точку A в точку C, совмещает луч CD с лучом AB (поскольку векторы одинаково направлены). А так как длины отрезков CD и AB равны, то точка D при этом совместится с точкой B. Таким образом, этот параллельный перенос вектор
переводит в вектор
По определению равных векторов,
Что и требовалось доказать.
2) Пусть векторы
и
имеют равные координаты.
Если A(x1; y1), B(x2; y2), A′(x′1; y′1), B′(x′2; y′2), то по условию x2-x1=x′2-x′1,y2-y1=y′2-y′1.
Отсюда x′2=x2+x′1-x1, y′2 =y2+y′1-y1.
Параллельный перенос, заданный формулами
переводит точку A в точку A′, точку B — в точку B′, то есть совмещает векторы
и
А это означает, что
Что и требовалось доказать.
В учебнике Атанасяна Л. С. и др. дано другое определение равных векторов.
Определение 2
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.