Равновеликие треугольники

Определение.

Равновеликие треугольники — это треугольники, которые имеют одинаковую площадь.

Равновеликие треугольники могут быть равными (так как равные треугольники имеют равные площади), но также могут иметь разные стороны и разные углы.

Например, треугольники ABC и MKF — равновеликие, так как их площади равны.

По формуле

   

   

   

   

   

Можно заметить, что если сторону треугольника увеличить в k раз, а высоту, проведенную к этой стороне, уменьшить в k раз, то получим треугольник, равновеликий данному.

Равновеликие треугольники в треугольнике

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники в трапеции

При пересечении диагоналей в произвольной трапеции ABCD образуется три пары равновеликих треугольников:

  1) ∆ABD и ∆ACD,

2) ∆ABC и ∆BCD,

3) ∆ABO и ∆COD.

Доказательство:

1) Проведём в треугольниках ABD и ACD высоты BH и CF.

   

   

BK=CF (как высоты трапеции), следовательно, 

   

2) Аналогично,

   

   

и

   

3)

   

   

Так как площади треугольников ABD и ACD равны (по доказанному), то и

   

Таким образом, треугольники , образованные боковыми сторонами и диагоналями трапеции, имеют равные площади.

Что и требовалось доказать.