Выясним, в каких случаях равнобедренные треугольники подобны.
Признаки подобия равнобедренных треугольников
1) Если угол между боковыми сторонами одного равнобедренного треугольника равен углу между боковыми сторонами другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники подобны.
Дано: ∆ ABC, AB=BC,
![\[\Delta {A_1}{B_1}{C_1},{A_1}{B_1} = {B_1}{C_1},\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-02b9ec846a3e2a3276646ad5a8d68d8f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
∠B=∠B1
Доказать:
![\[\Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7da6e45ad5db5ee63075435dfd020c07_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказательство:
Из равенства углов при вершине равнобедренных треугольников следует равенство их углов при основаниях:
![\[\left. \begin{array}{l} \angle A = {90^o} - \frac{{\angle B}}{2}\\ \angle B = \angle B\\ \angle {A_1} = {90^o} - \frac{{\angle {B_1}}}{2} \end{array} \right\} \Rightarrow \angle A = \angle {A_1}\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-95ea505ad6b49e3826344f3a2e1ab0f1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 подобны по двум углам.
Что и требовалось доказать.
2) Если угол между основанием и боковой стороной одного равнобедренного треугольника равен углу между между основанием и боковой стороной другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники подобны.
Дано: ∆ ABC, AB=BC,
![\[\Delta {A_1}{B_1}{C_1},{A_1}{B_1} = {B_1}{C_1}\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af551a09a9a28c2de88456d0bc92ba80_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
∠A=∠A1
Доказать:
Доказательство:
Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, в треугольнике ABC ∠A=∠C, в треугольнике A1B1C1∠A1=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 подобны по двум углам.
Что и требовалось доказать.
3) Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника пропорциональны основанию и боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники подобны.
Дано: ∆ ABC, AB=BC,
![\[\frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = \frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}}\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-609c78210e4abe485c1b625a39caca0b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказать:
Доказательство:
![\[\left. \begin{array}{l} AB = BC\\ {A_1}{B_1} = {B_1}{C_1}\\ \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = \frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = \frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = \frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}}\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8960de0eac415c2a81c8d5c210a7faf1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 подобны по трём сторонам.
Что и требовалось доказать.