Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по одной общей формуле.
Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.
Радиус вписанной в треугольник окружности для произвольного треугольника
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:
где S — площадь треугольника, p — его полупериметр.
Для треугольника со сторонами a, b, c полупериметр
и формулу можно записать так:
Если нужно найти радиус вписанной в треугольник окружности по его сторонам, то площадь треугольника ищут по формуле Герона, соответственно, формула для нахождения радиуса треугольника по трем сторонам имеет вид:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
Формула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
где a, b — длины катетов, c — длина гипотенузы.
Радиус окружности, вписанной в правильный (то есть равносторонний) треугольник
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник:
или (без иррациональности в знаменателе):
где a -длина стороны правильного треугольника.
В правильном треугольнике радиус вписанной окружности также можно найти через радиус описанной окружности: