Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике |

Рассмотрим некоторые задачи на пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

1) Найти высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 4 и 16.

najti-vysotu-cherez-proekcii-katetov

Решение:

Высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему пропорциональному между проекциями катетов на гипотенузу:

$CF = \sqrt {AF \cdot BF} = \sqrt {4 \cdot 16} = 2 \cdot 4 = 8.$

2) Катет прямоугольного треугольника равен 15 см, а его проекция на гипотенузу — 9 см. Найти гипотенузу.

katet-ego-proekciya-na-gipotenuzu

Решение:

Катет равен среднему пропорциональному между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

$A{C^2} = AB \cdot AF$

$AB = \frac{{A{C^2}}}{{AF}} = \frac{{{{15}^2}}}{9} = \frac{{225}}{9} = 25.$

3) Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузу, делит её на отрезки 6 см и 24 см. Найти катеты треугольника.

vysota-delit-gipotenuzu-na-otrezki

Решение:

AB=AF+BF=6+24=30

$AC = \sqrt {AF \cdot AB} = \sqrt {6 \cdot 30} = \sqrt {6 \cdot 6 \cdot 5} = 6\sqrt 5 ,$

$BC = \sqrt {BF \cdot AB} = \sqrt {24 \cdot 30} = \sqrt {4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5} =$

$= 2 \cdot 6\sqrt 5 = 12\sqrt 5 .$

4) Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4 см, а проекция второго катета на гипотенузу — 6 см. Найти второй катет и гипотенузу.

po-katetu-i-proekcii-najti-vtoroj-katet

Решение:

Пусть проекция катета на гипотенузу AF=x см, тогда гипотенуза AB=(x+6)см.

$A{C^2} = AF \cdot AB$

${4^2} = x(x + 6)$

${x^2} + 6x - 16 = 0$

${x_1} = 2$

${x_2} = - 8$

Второй корень не удовлетворяет условию задачи (так как длина отрезка не может быть отрицательным числом).

Следовательно, AF=2см, AB=2+6=8см.

5) Катеты прямоугольного треугольника 9см и 12см. Найти их проекции на гипотенузу.

po-katetam-najti-proekcii

Решение:

По теореме Пифагора

$AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}} = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = \sqrt {225} = 15$

$B{C^2} = BF \cdot AB,$

$A{C^2} = AF \cdot AB,$

$BF = \frac{{B{C^2}}}{{AB}} = \frac{{{{12}^2}}}{{15}} = 9,6;$

$AF = \frac{{A{C^2}}}{{AB}} = \frac{{{9^2}}}{{15}} = 5,4.$

6) Катет прямоугольного треугольника равен 10 см, гипотенуза — 26 см. Найти проекцию другого катета на гипотенузу.

Решение:

По теореме Пифагора

$BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{26}^2} - {{10}^2}} = \sqrt {576} = 24,$

$BF = \frac{{B{C^2}}}{{AB}} = \frac{{{{24}^2}}}{{26}} = \frac{{576}}{{26}} = \frac{{288}}{{13}} = 22\frac{2}{{13}}.$

7) Катет прямоугольного треугольника равен 5 см, а высота, проведенная к гипотенузе — 3 см. Найти второй катет.

po-katetu-i-vysote-najti-katet

Решение:

Из прямоугольного треугольника BCF по теореме Пифагора

$BF = \sqrt {B{C^2} - C{F^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = \sqrt {16} = 4,$

(или через египетский треугольник).

$C{F^2} = BF \cdot AF,$

$AF = \frac{{C{F^2}}}{{BF}} = \frac{{{3^2}}}{4} = \frac{9}{4} = 2,25$

Из прямоугольного треугольника ACF по теореме Пифагора

$AC = \sqrt {C{F^2} + A{F^2}} ,$

$AC = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{9}{4}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{225}}{{16}}} = \frac{{15}}{4} = 3,75.$

8) Найти высоту и боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 8 см и 10 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

najti-vysotu-i-bokovuyu-storonu-r-b-trapecii

Решение:

По свойству равнобедренной трапеции

$HD = \frac{{AD - BC}}{2} = \frac{{10 - 8}}{2} = 1,$

$AH = AD - HD = 10 - 1 = 9.$

В прямоугольном треугольнике ACD CH — высота, проведённая к гипотенузе.

$CH = \sqrt {AH \cdot HD} = \sqrt {9 \cdot 1} = 3.$

HD — проекция катета CD на гипотенузу AD. Соответственно,

$CD = \sqrt {HD \cdot AD} = \sqrt {1 \cdot 10} = \sqrt {10} .$

9) В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и равна 3√5 см, а проекция боковой стороны на большее основание равна 4 см. Найти основания трапеции и её боковую сторону.

osnovanie-i-bokovuyu-storonu-r-b-trapecii-cherez-diagonal Решение:

В прямоугольном треугольнике ACD CH — высота, проведённая к гипотенузе, HD — проекция катета CD на гипотенузу AD, AH — проекция катета AC на гипотенузу AD.

Пусть AH=x см, тогда AD=(x+4)см.

$A{C^2} = AH \cdot AD,$

${(3\sqrt 5 )^2} = x(x + 4)$

${x^2} + 4x - 45 = 0$

${x_1} = 5$

${x_2} = - 9$

Второй корень не подходит по смыслу задачи (длина отрезка не может быть отрицательным числом).

Следовательно, AH=5см, AD=5+4=9см.

$HD = \frac{{AD - BC}}{2}$

$AD - BC = 2HD$

$BC = AD - 2HD = 9 - 2 \cdot 4 = 1.$

10) Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найти диагонали ромба.

Perpendikulyar iz tochki peresecheniya diagonalej romba k storone Решение:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

В прямоугольном треугольнике AOD OF — высота, проведённая к гипотенузе AB, AF — проекция катета AO на гипотенузу, BF — проекция катета BO на гипотенузу.

AB=AF+BF=4+25=29см.

$AO = \sqrt {AF \cdot AB} = \sqrt {4 \cdot 29} = 2\sqrt {29} ,$

$BO = \sqrt {BF \cdot AB} = \sqrt {25 \cdot 29} = 5\sqrt {29} .$

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам,

$AC = 2AO = 2 \cdot 2\sqrt {29} = 4\sqrt {29} ,$

$BD = 2BO = 2 \cdot 5\sqrt {29} = 10\sqrt {29} .$

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Навигация по сайту

Рубрики