Рассмотрим подобие треугольников в прямоугольном треугольнике.
Утверждение 1
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен данному. Эти треугольники также подобны между собой.
Дано: ∆ABC, ∠C=90º,
CH — высота.
Доказать: ∆ACH ∼∆ABC,
∆CBH ∼∆ABC,
∆ACH ∼∆CBH.
Доказательство:
1) Для треугольников ACH и ABC угол A — общий. Следовательно, ∆ACH ∼∆ABC (по острому углу).
Аналогично, для треугольников CBH и ABC угол B — общий. Следовательно, ∆CBH∼∆ABC.
2) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, в треугольнике ABC ∠B=90º-∠A, в треугольнике CHB ∠BCH=90º-∠B=90º-(90º-∠A)=∠A.
Таким образом, в треугольниках ACH и CBH ∠CAH=∠BCH. А значит, ∆ACH ∼∆CBH (по острому углу).
Что и требовалось доказать.
(Другой вариант: два треугольника, подобных одному треугольнику, подобны между собой).
Утверждение 2
Прямые, параллельные катетам прямоугольного треугольника, отсекают от него треугольники, подобные данному. Эти треугольники также подобны между собой.
Дано: ∆ABC, ∠C=90º,
KF∥BC, MN∥AC
Доказать: ∆AFK ∼∆ABC,
∆MBN ∼∆ABC,
∆AFK∼∆MBN.
Доказательство:
1) Так как ∠C=90º и KF∥BC, то ∠AKF=90º, то есть треугольник AFK — прямоугольный.
Для треугольников AFK и ABC угол A — общий. Следовательно, ∆AFK ∼∆ABC (по острому углу).
2) Аналогично, ∠MNB=90º и ∆MBN ∼∆ABC (по общему острому углу B).
3) ∠AFK=∠B (как соответственные при KF∥BC и секущей AB). Следовательно, ∆AFK∼∆MBN (по острому углу).
Что и требовалось доказать.