Площадь трапеции по сторонам |

Площадь трапеции по сторонам

Как найти площадь трапеции по 4 сторонам?

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать её основания и высоту. Основания известны, следовательно, задача сводится к нахождению высоты трапеции.

I способ.

Из вершины тупого угла провести прямую, параллельную боковой стороне.

Найти площадь полученного треугольника по формуле Герона. Зная площадь, найти высоту треугольника, которая является также высотой трапеции.

Задача 1.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 11 см и 28 см, а боковые стороны — 25 см и 26 см.

ploshchad-trapecii-po-storonamДано: ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=25 см, BC=11 см,

CD=26 см, AD=28 см

Найти:

    \[{S_{ABCD}}\]

Решение:

1) Проведем через вершину C прямую CL,  CL∥AB.

ploshchad-trapecii-cherez-storonyЧетырехугольник ABCL — параллелограмм (по определению, так как BC∥AL — по условию, CL∥AB — по построению).

По свойству параллелограмма, AL=BC=11 см, CL=AB=25 см. Следовательно, LD=AD-AL=28-11=17 см.

2) Рассмотрим треугольник CDL. Его площадь найдём по формуле Герона

    \[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,\]

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{25 + 26 + 17}}{2} = 34cm\]

    \[{S_{\Delta CDL}} = \sqrt {34(34 - 25)(34 - 26)(34 - 17)} = \]

    \[ = \sqrt {34 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 17} = \sqrt {2 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 17} = \]

    \[ = 2 \cdot 17 \cdot 3 \cdot 2 = 204c{m^2}\]

С другой стороны, 

    \[{S_{\Delta CDL}} = \frac{1}{2}LD \cdot CK.\]

    \[204 = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot CK, \Rightarrow CK = 24cm.\]

3) По формуле

    \[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

найдём площадь трапеции ABCD:

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot CK,\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{28 + 11}}{2} \cdot 24 = 39 \cdot 12 = 468c{m^2}.\]

Ответ: 468 см².

II способ.

Провести из тупых углов трапеции две высоты.

В результате получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Один из катетов этих треугольников — высота трапеции. Её можно выразить через другие стороны в каждом из треугольников, затем приравнять полученные равенства.

Задача 2.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 10см  и 14 см, а боковые стороны — 13 см и 14 см.

najti-ploshchad-trapecii-po-4-storonam
рисунок 1

Дано:ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=13 см, BC=10 см,

CD=15 см, AD=14 см

Найти:

    \[{S_{ABCD}}\]

Решение:

najti-ploshchad-trapecii-cherez-storonyПроведём высоты трапеции BK и CF.

Четырёхугольник BCFK — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Поэтому, KF=BC=10 см.

Пусть FD=x см, тогда AK=AD-KF-FD=14-10-x=4-x см.

Рассмотрим треугольник CDF — прямоугольный. По теореме Пифагора

    \[C{F^2} = C{D^2} - F{D^2},\]

    \[C{F^2} = {15^2} - {x^2}.\]

Аналогично, из треугольника ABK

    \[B{K^2} = A{B^2} - A{K^2},\]

    \[B{K^2} = {13^2} - {(4 - x)^2}.\]

Приравниваем правые части:

    \[{15^2} - {x^2} = {13^2} - {(4 - x)^2}\]

    \[225 - {x^2} = 169 - 16 + 8x - {x^2}\]

    \[x = 9\]

    \[C{F^2} = {15^2} - {9^2} = 144,\]

    \[CF = 12(cm).\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot CF,\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{10 + 14}}{2} \cdot 12 = 144(c{m^2}).\]

Ответ: 144 см².

najti-ploshchad-trapecii-znaya-storony
рисунок 2

Традиционно трапецию изображают именно в таком виде, как на рисунке 1 — с двумя тупыми углами при меньшем основании.

Но в трапеции также могут быть тупыми противоположные углы — как на рисунке 2.

 

 

dany-storony-trapeciiДля  трапеции с противоположными тупыми углами верны все рассуждения, приведенные выше, за одним исключением —  в этом случае BC=AF=AK+AF.

В разных вариантах трапеции отрезки FD и AK имеют разную длину, но величина высоты, а значит, и площади, одинакова.

2 Comments

  1. Интересное утверждение в решении задачи 2: ‘Четырёхугольник BCFK — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Поэтому, BK=CF=10 см.’
    Если этот четырёхугольник — прямоугольник, то это ещё не значит, что он квадрат.
    Не согласна с этим объяснением. Прокомментируйте подробнее.

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *