Площадь параллелограмма ABCD равна 60 |

Площадь параллелограмма ABCD равна 60

Ploshchad' parallelogramma ABCD ravna 60Задача 1

Площадь параллелограмма ABCD равна 60. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь треугольника ABE.

Решение:

1-й способ

Tochka-E-seredina-storony-ADПроведём диагональ BD.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, отсюда

    \[{S_{\Delta ABD}} = {S_{\Delta CBD}} \Rightarrow {S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}.\]

ВЕ- медиана треугольника ABD.

Медиана делит треугольник на две равновеликие части (то есть медиана делит площадь треугольника пополам).

Поэтому

    \[{S_{\Delta ABE}} = {S_{\Delta DBE}} \Rightarrow {S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABD}}\]

Следовательно,

    \[{S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\]

Искомая площадь

    \[{S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15.\]

Ответ: 15

2-й способ

ploshchad' treugol'nika ABEОпустим из точки B перпендикуляр BF к прямой AD.

BF — высота треугольника ABE и высота параллелограмма ABCD.

По формуле площади треугольника

    \[S = \frac{1}{2}a{h_a}\]

    \[{S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{2}AE \cdot BF\]

По формуле площади параллелограмма

    \[S = a{h_a}\]

    \[{S_{ABCD}} = AD \cdot BF\]

Так как E — середина AD, то

    \[AE = \frac{1}{2}AD\]

    \[{S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AD \cdot BF = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15.\]

Задача 2

Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найти площадь трапеции BCDE.

Решение:

Najti ploshchad' trapecii BCDEПо доказанному выше,

    \[{S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}},\]

отсюда выразим площадь трапеции через площадь параллелограмма:

    \[{S_{BCDE}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta ABE}} = \frac{3}{4}{S_{ABCD}}.\]

Следовательно, искомая площадь трапеции BCDE равна

    \[{S_{BCDE}} = \frac{3}{4}{S_{ABCD}} = \frac{3}{4} \cdot 28 = 21.\]

Ответ: 21.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *