Отрезки AC и BD — диаметры окружности

Задача 1.

Otrezki AC i BD - diametry okruzhnosti s centrom O Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O.

Угол ACB равен 41°.

Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1-й способ:

Otrezki AC i BD - diametry Треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (так как OC=OB как радиусы).

Следовательно,

$\angle OBC = \angle OCB = {41^o}$

(как углы при основании равнобедренного треугольника).

По теореме о сумме углов треугольника

$\angle BOC = {180^o} - (\angle OBC + \angle OCB) =$

$= {180^o} - ({41^o} + {41^o}) = {98^o}.$

$\angle AOD = \angle BOC = {98^o}$

Ответ: 98.

2-й способ:

Otrezki AC i BD - diametry Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

Угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB.

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:

$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$

$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 41 = {82^o}.$

Углы AOB и AOD — смежные, поэтому их сумма равна 180°.

Отсюда

$\angle AOD = {180^o} - \angle AOB = {180^o} - {82^o} = {98^o}.$

Задача 2.

Otrezki AC i BD Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O.

Угол AOD равен 16°.

Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$\angle BOC = \angle AOD = {16^o}$

Otrezki - diametry okruzhnosti (как вертикальные).

Треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (OB=OC как радиусы).

Следовательно,

$\angle OCB = \angle OBC = \frac{{{{180}^o} - \angle BOC}}{2} = \frac{{{{180}^o} - {{16}^o}}}{2} = {82^o}.$

Ответ: 82.