Осевая симметрия является движением

Теорема.

Осевая симметрия является движением.

Доказательство:

Пусть A и B — две произвольные точки фигуры F.

При симметрии относительно прямой g фигуры F точка A переходит в точку A1, точка B — в точку B1. При этом AO=A1O, BO1=B1O1и прямая g перпендикулярна отрезкам AA1 и BB1.

Проведём отрезки AO1 и A1O1.

Прямоугольные треугольники AOO1 и A1OO1 равны по двум катетам, следовательно, AO1=A1O1 и ∠OAO1=∠OA1O1.

Прямые AA1 и BB1 параллельны по признаку параллельности прямых (как прямые, перпендикулярные одной и той же прямой g).

∠BO1A=∠OAO1 (как внутренние накрест лежащие при AA1 ∥ BB1 и секущей AO1)

∠B1O1A1=∠OA1O1 (как внутренние накрест лежащие при AA1 ∥ BB1 и секущей A1O1)

Следовательно, ∠BO1A=∠B1O1A1.

В треугольниках BO1A и B1O1A1:

1) ∠BO1A=∠B1O1A1;

2) BO1=B1O1;

3) AO1=A1O1.

Следовательно, эти треугольники равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=A1B1, то есть расстояние между точками сохраняется, а значит, преобразование симметрии относительно прямой есть движение.

Что и требовалось доказать.