Утверждение
Если две окружности с равными радиусами касаются внешним образом, то их общие внешние касательные параллельны.
Если две окружности с различными радиусами касаются внешним образом, то их центры и точка касания лежат на биссектрисе угла, образованного общими внешними касательными.
1) Соединим центры окружностей с точками касания .
![\[{O_1}A \bot AB,{O_2}B \bot AB\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf9972a408df4e9f50237c10ea47234f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(как радиусы, проведённые в точки касания). Прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны: O1A∥O2B (по признаку параллельности прямых).
O1A=O2B (по условию). Следовательно, четырёхугольник ABO2O1 — параллелограмм (по признаку). А так как у него есть прямой угол, то ABO2O1 — прямоугольник (по признаку). Значит, O1O2∥AB и расстояние между прямыми равно радиусу.
Аналогично, O1O2∥CD и расстояние между прямыми равно радиусу.
Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то AB∥CD. Прямая O1O2 равноудалена от прямых AB и CD.
2) Если две окружности с различными радиусами касаются внешне, то общие внешние касательные образуют угол, в который обе окружности вписаны.
Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла CMK.
Так как при внешнем касании O2D+O1D=O1O2, точка D лежит на прямой O1O2 между точками O1 и O2.