Найти среднюю линию трапеции если диагонали перпендикулярны

Задача.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны.

Высота трапеции равна 2.

Найдите её среднюю линию.

Решение:

diagonali-trapecii-perpendikulyarny-naydite-srednyuyu-liniyu Проведём высоту трапеции FH через точку O пересечения диагоналей трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, то OA=OB, OD=OC.

Следовательно, треугольники AOB и COD — равнобедренные.

А значит, их высоты OH и OF являются также медианами.

Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, треугольники AOB и COD — прямоугольные.

Отсюда следует, что OH и OF — медианы, проведённые к гипотенузе.

А так как медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то

$OH = \frac{1}{2}AB,$

$OF = \frac{1}{2}CD,$

$FH = OH + OF = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}CD = \frac{{AB + CD}}{2}.$

А так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции,

$MN = \frac{{AB + CD}}{2} = FH = 2.$

Ответ: 2.

Найти среднюю линию трапеции, если диагонали перпендикулярны