Формула площади четырехугольника |

Утверждение.

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \cdot \sin \varphi$

(d₁, d₂ — диагонали четырёхугольника, φ — угол между ними).

AC∩BD=O, AC=d₁, BD=d₂, ∠AOB=φ

Доказать:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}d_1 d_2 \cdot \sin \varphi$

Доказательство:

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD делят его на 4 треугольника.

$S_{\Delta AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin \angle AOB;$

$S_{\Delta BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin \angle BOC;$

$S_{\Delta COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin \angle COD;$

$S_{\Delta AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot DO \cdot \sin \angle AOD.$

∠BOC=180°-∠AOB=180°-φ (как смежные).

∠COD=∠AOB=φ,

∠AOD=∠BOC=180°-φ (как вертикальные).

Отсюда

$S_{\Delta AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin \varphi ;$

$S_{\Delta BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin \varphi ;$

$S_{\Delta COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin \varphi ;$

$S_{\Delta AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot DO \cdot \sin \varphi .$

Таким образом,

$S_{ABCD} = S_{\Delta AOB} + S_{\Delta BOC} + S_{\Delta COD} + S_{\Delta AOD} =$

$= \frac{1}{2} \cdot \sin \varphi (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + AO \cdot DO) =$

$= \frac{1}{2} \cdot \sin \varphi ((AO \cdot BO + BO \cdot CO) + (CO \cdot DO + AO \cdot DO)) =$

$= \frac{1}{2} \cdot \sin \varphi (BO(AO + CO) + DO(CO + AO)) =$

$= \frac{1}{2} \cdot \sin \varphi (AO + CO)(BO + DO) = \frac{1}{2} \cdot \sin \varphi \cdot AC \cdot BD =$

$= \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \varphi .$

Что и требовалось доказать.

2 Comments

Спасибо всем!

Большое спасибо! Очень хороший сайт.

Формула площади четырехугольника