Теорема (признак параллельности прямых)
Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Дано: а, b — прямые,
с — секущая,
∠1=∠2
Доказать: a||b
Доказательство:
Для случая ∠1=∠2=90°, получаем теорему о том, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.
Пусть прямые а и с пересекаются в точке А, прямые b и с пересекаются в точке В.
На отрезке АВ отметим середину — точку О.
Из точки О на прямую а опустим перпендикуляр ОМ.Продолжим луч МО до пересечения с прямой b в точке F.
Рассмотрим треугольники ОМС и ОFВ.
1)∠1=∠2 (по условию)
2)ОА=ОВ (по построению)
3)∠АОМ=∠ВОF (как вертикальные).
Следовательно, треугольники ОМС и ОFВ равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующий углов:
∠ОFВ=∠ОМС=90°.
Получили, что прямые а и b параллельны прямой MF.
А так как две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой, то прямые а и b параллельны.
Что и требовалось доказать.