Если в треугольнике катет равен половине гипотенузы |

Утверждение.

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.

esli-katet-raven-polovine-gipotenuzy Дано: ΔABC, ∠C=90°,

$BC = \frac{1}{2}AB$

Доказать: ∠A=30°

Доказательство:

1-й способ.

Отметим на гипотенузе AB середину — точку F.

$AF = BF = \frac{1}{2}AB.$

Тогда CF — медиана треугольника ABC,

Поэтому

$CF = \frac{1}{2}AB.$

По условию,

$BC = \frac{1}{2}AB$

Получили, что BC=BF=CF.

Это означает, что треугольник BCF — равносторонний.

Отсюда следует, что ∠B=60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°,

∠A+∠B=90°.

Таким образом получаем, что ∠A=90° — ∠B=90°- 60°=30°.

Что и требовалось доказать.

2-й способ.

Построим треугольник ADC, равный треугольнику ABC.

v-treugolnike-katet-raven-polovine-gipotenuzy Тогда по построению

$AD = AB,$

$CD = CB = \frac{1}{2}AB,$

а значит,

$BD = AD = AB,$

то есть треугольник ABD — равносторонний.

Поэтому все его углы равны по 60°.

А так как по построению углы BAC и DAC равны, то каждый из них равен половине угла BAD:

$\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot {60^o} = {30^o}.$

Что и требовалось доказать.

Если катет равен половине гипотенузы